Комплексный анализ

Естественно поставить вопрос о свойствах функции F{Z) . Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции (p{z,t^) функция F{Z) является аналитической функцией комплексной переменной Z в области D, причем производную функции F{Z) МОЖНО вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл: и{х, j) = jи{х, у, ?])d^ - v{x, у, ri)dri. С Так как, по предположению, функции и, v обладают частными производными по JC и непрерывными по совокупности переменных у,х,^,г1, то частные производные функции u{x,y) по переменным х, у существуют и могут быть вычислены при помощи дифференцирования под знаком интеграла: с и у =\uyd^-Vydri. С Сами функции U[ и 17'^ являются непрерывными функциями переменных х и у. На основании аналогичных свойств функции v{x,y) и, используя условия Коши-Римана для функции (p{z,C), получим: К =\ -u,dri = -j -Vydri = -t/; ; ' ; ; (2) Vy =\v/^-Uydri = ^u^d^-v^dri = U[. С С Таким образом, для функции F{Z) выполнены условия Коши-Римана, частные производные функций U{x,y) и V{x,y) непрерывны и связаны соотношениями (2), что и доказывает аналитичность F{Z) В области D . 47