Комплексный анализ

Лекция 5 ИНТ ^ РАЛЬ 1 _ Д _ З АВИСЯЩИЕ О Т П А Р А М Е Т Р О В Рассмотрим интеграл Коши. Видно, что его подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной z^. Таким образом, интеграл Коши представляет собой интеграл, зависящий от параметра z^. Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра. Пусть задана функция двух комплексных переменных (p{z,C), однозначно определенная для значений комплексной переменной z = х + />, ZG D и для значений комплексной переменной = ^ + iri, принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области D и кривой С может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух переменных (p{z,t^) удовлетворяет следующим условиям: а) функция (p{z,i^) при любом значении является аналитической функцией Z в области D; б) функция cp{z,^) и ее производная являются непрерывными dz функциями по совокупности переменных z и при произвольном изменении z в области D и на кривой С. Второе условие означает, что действительная и мнимая части функции d(p{zX) е ^ ^ непрерывны по совокупности переменных Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции (P{Z,C) по кривой С существует при любом ZGD И является функцией комплексной переменной z: F{Z) = j (p{z, C)DC = y)+iv{x, y) ( 1 ) 46