Комплексный анализ

Устремим теперь р ^О . Так как /(z) аналитическая, следовательно, непрерывная функция в области D, то для любого положительного числа £ можно указать такое значение р , что \ f { c ) - д л я \C-z^\<p. Отсюда следует, что при р ^ о существует предел 2л lim |[/(^)-Ж)]^(г7 = 0. О Так как в формуле (3) последнее слагаемое не зависит от р , то 271 \f{C)d(p = 27rf{z^). О Следовательно, О ^ ^ 0 и согласно (2) Интеграл, стоящий в правой части (4), выражает значение аналитической функции /(z) в некоторой точке z^ через ее значения на любом контуре Г, лежащем в области аналитичности функции /(z) и содержащем точку z^ внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (4) называется формулой Коши. Замечание 1. В формуле (4) интегрирование проводится по замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области аналитичности /(z) и содержащему внутри точку z^. При дополнительном условии непрерывности функции /(z) в замкнутой области D аналогичная формула имеет место в силу теоремы (второй формулировки теоремы Коши) и при интегрировании по границе С области D. Замечание 2. Проведенные выкладки остаются справедливыми для многосвязной области D. При этом для вывода основной формулы (4) 43