Комплексный анализ

Теорема Коши для многосеязной области. Пусть /(z) является аналитической функцией в многосвязной области D, ограниченной извне контуром Со, а изнутри контурами и пусть функция /(z) является непрерывной в замкнутой области D (рис. 1). Тогда lf{C)dC = o, Г где Г - полная граница области D, состоящая из контуров Co,Q,...,C „, причем обход границы Г происходит в положительном направлении. Рис. 1 Доказательство. Проведем гладкие кривые соединяющие контур Со с контурами Ci,C2,...,C „. Тогда область, ограниченная кривыми Со, Ci,C2,...,C „ и кривыми проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной. В силу теоремы Коши для односвязной области интеграл по границе этой области равен нулю. По интегралы по вспомогательным кривым проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают, поэтому имеет место равенство J/(fVc + j / ( f V f +•• •+ j = J/ ( f V f = 0. Cj Cf c- г Теорема доказана полностью. Интеграл Коши. Пусть функция /(z) является аналитической в односвязной области D, ограниченной контуром С. Возьмем произвольную внутреннюю точку и построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в 41