Комплексный анализ

можно применить формулу (4). Кроме того, частные производные функций и{х,у) и v{x,y) связаны соотношениями Коши-Римана, поэтому \udx-vdy= f f f - — d x d y = 0', \vdx + udy = f f f — d x d y = 0, J -"A dx dy) 'I JAar dy) du _ dv _ du _dv dy dx" dx dy" ЧТО и доказывает утверждение теоремы. Таким образом, теорема Коши устанавливает равенство нулю интеграла от аналитической функции по любой замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области ее аналитичности. При дополнительном условии непрерывности функции в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границей области аналитичности. Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши. Теорема Коши (вторая формулировка). Если /(z), является аналитической в односвязной области D, ограниченной кусочно-гладким контуром С, и непрерывна в замкнутой области D, то интеграл от функции /(z) по границе С области D равен нулю: = 0 . Доказательство аналогично. Теорему Коши можно сформулировать и для многосвязных областей. В этом случае полная граница области D состоит из нескольких замкнутых контуров: внешнего контура и внутренних контуров Q,C2,...,C „. Положительным направлением обхода полной границы многосвязной области будем называть такое направление, при котором область D все время остается слева. При этом внешний контур обходится в положительном, а внутренние - в отрицательном направлении. 40