Механика системы. Динамика твердого тела.

Подставляем по условию -f e c o s u вместо cos-у, тогда имеем: Х~ае cos^ti а sin ц e s i nu • cos и ~cos и ' откуда: y'c'=ae(cos^u+sin^ и)=ае. Это есть фокусное расстояние. Итак мы видим, что палочка в положении равновесия проходит через фокус. Считаем не лишним привести очень простое и изящное гео­ метрическое решение. Пусть палочка АВ (фиг. 22) проходит через фокус. На нее действуют три силы; 1) сила тяжести, при­ ложенная в D, середине палочки, и направленная по большой оси, 2) и 3) силы сопротивления по­ верхности, действующие на кон­ цы А к В. Эти силы направлены по нормалям к эллипсу; равнодей­ ствующая их должна быть равна и противоположна силе тяжести и проходить через середину D па­ лочки, иначе равновесия не было бы. Поэтому достаточно доказать, что если через точку С пересече­ ния двух нормалей к поверхности эллипсоида в точках А я В, кото­ рые суть концы некоторой прямой, проходящей через фокус, провести линию CD параллельно большой оси, то эта линия прямую АВ раз­ делит в точке D пополам. Из подобных треугольников AEF и ADC имеем: AD_AF_ CD" tG' из подобных треугольников FGB и CDB имеем: BD^BF CD F& Нетрудно показать, что вторые части этих пропорций равны. •Соединим для этого точки А и В с фокусом F^. Так как нор­ маль делит угол между радиусами-векторами пополам, то MBI имеем; AF__AFi__ AF -Ь AF^__ 2а FE EFi FE 4- Ef^FFt' BF_BFi_BF -Ь BFt__ 2а FQ~GF~FG -f GF ~FF^- 48