Механика системы. Динамика твердого тела.

P^os^cos{P^, asJ+Q40S4Cos(Q4, ^Si)=Q, ( £ > QLOO'COS (QG, OO'J+Q^OO'COS(Q^, OA')+/?2^A'COS (/?2I SA')=0, {N') Эти уравнения показывают, что все точки системы, кроме точки А, уравновешены, и весь вопрос о равновесии системы сво­ дится к вопросу о равновесии точки А. Допустим, что по­ следняя может перемещаться только в одну сторону, тогда для равновесия нужно, чтобы равнодействующая сил Р, Ri, , приложенных в А, образовала прямой или тупой угол с воз­ можным перемещением 3s, т . е. чтобы Pos cos(P, 8s)-b/?i3s • cos (Pi, os)+-P2Ss • cos (Pa. os)4-. • .=5я. Складывая это уравнение с полученным выше, находим: "2Pcos(P, 3s) • 8s-l-QiC0s(Qi, 8si)osi-bQi'cos(Q,', оа)са+ -bQaCOS (Qa, SSg) •0S2(^-b2COS(Q2', oa')3o'-l-. . . + 4-PISS • COS (PI, os)-\-R[b3 COS (PJ, oaj-f-. . .=3ir, где V P COS (P, 5s) 8s=P8s • COS (P, 8s)-l-PiBsi COS (Pi, osi)-]-... Ha основании первой леммы все члены этого уравнения, кроме ^ P Q S C O S ( P , Ss), попарно сокращаются; поэтому по сокращении находим: ^ Р - O S - c o s ( Р , 0 S ) =0 7 : , ( 1 8 ) что и требовалось доказать. Мы доказали основную теорему Лагранжа для системы с полным числом условий, состоящей из нечетного числа точек. К этому случаю нетрудно привести и тот, когда система со­ стоит из четного числа точек. В самом деле, на основании вто­ рой леммы, мы можем прибавить к системе еще одну точку^ соединив ее неизменяемыми прямыми с тремя точками системы, и предположить, что на эту вновь прибавленную точку не дей­ ствуют никакие силы. Таким образом мы получим систему с нечетным числом точек, для которой теорема Лагранжа доказана. Переходим теперь к доказательству теоремы Лагранжа для системы с неполным числом условий. Для этого обнаружим сна­ чала, что при равновесии такой системы непременно имеет место условие Лагранжа. Пусть система с неполным числом условий находится в рав­ новесии. Мы можем прибавить к ней новые связи, не нарушая равновесия; прибавляем их так, чтобы сделать ее системой с полным числом условий. Так как система и после прибавления новых связей будет находиться в равновесии, то, по доказан­ ному о системе с полным числом условий, имеем; ^ Р ' 3s . cos (Р, 3s)=37r, 34