Механика системы. Динамика твердого тела.

Заметив, что ^т=М, ^т.х==0, ^ (— /лр^-^Зтл^) = [— tn {х^-\-y^+z^)-^3mx'^\ — — [2 х^— (у®+2:®)] = 2 [2т {х^-^у^+z^)--2>in (У+г^)] = = Л + 5 + С - 3 / , где сумма Л + 5 + С одна и та же для всяких трех взаимно перпендикулярных осей,с началом в центре эллипсоида, ибо она равна а величина р не зависит от направления осей; что касается члена V/ — Зотр^Х 4-5ОТЛЗ>^_ — Зр2 + 5x2 ^ i L l 2/?^ ) Lr^\ 2R^ I' то он равен нулю, ибо в этой сумме для каждого члена с х~ положительным есть ему равный по абсолютной величине с Л'— отрицательным, что непосредствеш^о видно из того, что плос­ кость yz делит эллипсоид на две равных и симметрично рас­ положенных части. Откинем теперь все члены разложения порядка тогда выражение потенциала будет •,,_М Л + Б + С— ЗУ R+ 2/?2 Что касается отброшенных членов порядка -^5, то сумму их, очевидно, можно приближенно представить так: V i l J ! —v i i Za'R \.R) ~ R R' ^ R'' где /—наибольший размер эллипсоида. От этого выражения потенциала эллипсоида малых размеров сравнительно с расстоянием от притягиваемой точки нетрудно перейти к выражению потенциала эллипсоида конечных разме­ ров. Пусть а', Ь', с'—полуоси малого эллипсоида, а а, Ь, с — эллипсоида конечных размеров, софокусиого первому; следова­ тельно, полуоси этих эллипсоидов связаны соотношением Потенциал малого эллипсоида на притягиваемую точку по пре­ дыдущей формуле будет А' + В' + С-3J' R'^ Зная потенциал малого эллипсоида, по теореме Маклорена без труда найдем выражение потенциала эллипсоида, ему софо- кусного, конечных размеров; это будет j^._M , м А'+в' ~-R+M'~~' W • 278