Механика системы. Динамика твердого тела.

Введя обозначения ab-\-ac — be — а, j ah-{-be—ЙС = p, I ac-\-bc—ab=-[, i получим a' — ab и аналогичные выражения для b' и с'. Покажем прежде всего, что определенная нами поверхность второго порядка, для которой квадраты полуосей равны а\ Ь', с', есть эллипсоид, другими словами, что а', Ь', с' все положи­ тельны. Действительно, рассмотрим величины JL .А. JL. аЪо' аЬс' аЬс ' Мы видели, что а, Ь, с удовлетворяют неравенствам (15) 1 a - f - 1 b > J _ с ' 1 с J_ a > 1 & • ' 1 b •+- I с > 1 a ' отсюда непосредственно следует, что рассматриваемые вели­ чины положительны, а следовательно, положительны и вели­ чины а, р, Остается показать только, что двучлен QS —2/?> 0 . Наименьшее значение этого двучлена будет, очевидно, тогда, когда о — с , ибо всегда а>ь>с, но тогда он равен Qc — 2R, а это есть следовательно, (Q5 —2/?) > (Qc-2/^}=t > 0 . Итак, поверхность rt ' 6 ' с есть эллипсоид. Утверждаем, что он может быть эллипсоидом инерции, т. е . что полуоси а', Ь', е' удовлетворяют неравенствам, аналогичным неравенствам (15j. Составим в силу принятых обозначений величины а', р', f и определим их значения a'=a'b'+a'c'~b'c' = (^+''-~i^](^^^X = \ ар ' a-f PY / V " ' a b ^ + a c f j — b c a ( Q 5 — 2R)' P ' 269