Механика системы. Динамика твердого тела.

Постараемся теперь выразить вторые части написанных урав­ нений в функции моментов инерции А, В, С и составляющих р, q, г угловой скорости вращения ш около мгновенной оси вращения, взятых относительно подвижных осей Ох, Оу, Ог. Для этого прежде всего определим проекции главного мо­ мента количеств движения на эти оси Ох, Оу, Oz. Пусть и, v, w обозначают проекции скорости какой-либо точки тела; тогда будем иметь: npj, G — '^m{zu — xw], прг G='^tn(x'V — у и). Пользуясь известными кинематическими формулами Эйлера u=pz — ry, 4)=rx — pz, w—py — qx и принимая во внимание, что по свойству главных осей инерции Vm(;3-l-^2)= £, '2' п(^^+У^)=С, '^myz^O, '^inzx=0, '^тху=0, дадим предыдущим формулам такой вид; пр^. 0=Лр , [ip,jG=Bq, прг G=Cr. Нам нужно знать производные от проекций G на неподвиж­ ные оси. Хотя для рассматриваемого момента проекции G на подвижные и неподвижные оси, очевидно, равны, но производ­ ные от них по времени, как это нетрудно показать, не равны. В самом деле, пусть через бесконечно-малый промежуток вре­ мени X подвижные оси займут другое положение Ох'у' z', бес­ конечно близкое к первоначальному; главный момент количеств движения обратится в G', и проекции его будут: на оси х', у', z' np,,•^(G')=A{p+^p), [ipyiQ')=B(q+^q), пргЧО')=С(/-+Дг) и на ось л: (или совпадающую с ней ось прД0')=Л(р-1-Др) cos {хх'j-{-B{q-{-^q) cos (л:.у')+С(г-\-До cos {xz'). Определим теперь косинусы углов, входящих в эту формулу. Для этого возьмем на осях Ох, О-', Oz три точки, находящиеся на расстоянии, равном единице от начала О; называя через и^, проекции скоростей этих точек на ось Ох, найдем, что проек­ ции этих трех точек на ось Ох будут находиться на расстоя­ ниях'l-l-rtix, 11^1, Hgx от начала координат О. Разделив каждое из этих расстояний на единицу и приняв во внимание, что по> формуле Эйлера u^qz — гу, Hi=0; « 2 = - л iis=q, получим искомые косинусы со8(л:л;')=1; cosO'.':)= —rt; (io^{z'x)=qi 210