Механика системы. Динамика твердого тела.

Таким образом уравнение (155) допускает три действитель­ ных корня: Хг, Xg, которые заключаются в следующих пре­ делах; cx3>Xi> — С; —C>Xj> —5; —B>ls>—A. Трем значениям X будут соответствовать три направления осей, характеризуемые углами: а^, T I ; «2. ?2. Тг! «3> Ъ, которые определяются из уравнения (153j. Два из этих направлений будут соответствовать наверное ббльшей или меньшей оси эллипсоида. Третье направление бу­ дет соответствовать средней оси. Это можем доказать, показав, что все три направления взаимно перпендикулярны. Подставим в уравнение (156) корни Х^, Х^; же® A+Ai+jS+5I+ С+кг ' Ahf Mrj _ Л + ^ 2 + Й 4 - Х „ + С + ) . , Вычтем из второго уравнения первое и приведем попарно члены к одному знаменателю. Тогда получим: ,14 f) ), \ Г ^ ^ I '1 , I -__S_l=n -"•Ч'ч • Л+л,'т~Л C+AJ "• Так как ни М, ни (Х^—Х^) не равны нулю, то остается положить; _ j ^ , _п ^ Л+Л1 B+ Если это равенство сравним с пропорцией (154), то мы можем представить его в виде: cosajL • cosaa+cos - COS pg+cos • cos -(2=0; отсюда следует, что два направления («^ -(i) и fij, -(j) вза­ имно перпендикулярны. Так лее докажем, что третье направление ? З . Та) перпендикулярно к первым двум, и, следовательно, они суть три направления главных осей. Величины полуосей эллипсоида инерции определяются по соот­ ветственным моментам инерции относительно найденных осей. Умножим уравнения (153) на cos а, cos р, cos f соответственно и, сложив нх, найдем: (A-fX) cos^a-f(S4-X) cos^^-l-(C-^-X) cos^7 — — Ж (5 cos a-f f)cos P-fCcos По формуле ( l o l ) будем иметь: К'=М (t2+Yi2+!:2)-X. 158