Механика системы. Динамика твердого тела.

§ 10. о моментах инерции. Моментом инерщи. какого-нибудь тела относительно данной оси называется сумма прошведений масс частиц этого тела на квадраты расстояний этих частиц от оса. Таким образом, если мы имеем тело и желаем определить момент инерции этого тела относительно оси zz', то должны определить расстояние г какой-нибудь частицы его т, помно­ жить ее массу т на и взять сумму таких произведений, распространяя ее на все частицы тела; так что, если обозначим через К момент инерции тела относительно оси zz', то будем иметь: A:=Vmr2. Очевидно момент инерции всегда будет больше нуля, так как он выражается суммой существенно положительных величин /лг^. Один только может быть случай, когда мо­ мент инерции равен нулю,—это, когда бе­ рется момент инерции бесконечно тонкой полоски, расположенной на самой оси. Вместе с понятием о моменте инерции вводится понятие о приведенной массе. Приведенной массой в данной точке А (фиг. 58) называется то количество массы которое придется поместить в точке А, чтобы, помнож ивши [ А на d^, где d есть расстояние точки Л от оси zz', получить величину К, т. е. чтобы р.й^==/<, откуда Если приведенная масса ( J - равна М массе всего тела, то рас­ стояние d —p называется радиусом инерции. Для определения о имеем: откуда: 2 _ М • Относительно момента инерции докажем несколько теорем. J l e o p eMa 1. Момент, инер^щи тела относительно какой- нибудь оси равен моменту инер^^ии относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.. Для доказательства этой теоремы предположим, что центр тяжести данного тела лежит в начале координат и ось z па­ раллельна той оси, относительно которой мы желаем опреде­ лить момент ннериии тела. Пусть эта ось будет O'z' Сфиг. Ь9), и пусть К' будет момент инерции относительно оси O'z', а К — момент инерции относительно оси Os. Из самого определения момента инерции имеем; • = ^ £ да 4. [y-bf], <т Фиг. 58.