Механика системы. Динамика твердого тела.

то последнее уравнение можно представить в таком виде: откуда 12_ Ф (/г^, ft;, • • • ) 01 (Л ^5 Ло» • - •) Знаменатель во второй части всегда имеет положительный знак, так как это есть выражение Т с заменой, которую мы указали; поэтому знак зависит от числителя. Если U—U^^ есть отрицательная величина и Uo больше U, т . е. если сило­ вая функция имеет максимум в положении равновесия, те Ф h ^ , . . . ) имеет знак отрицательный и —отрицательная величина. Если же U > U q , т. е. силовая функция в положенир» равновесия имеет минимум, то Ад, ...)—положительная величина, и имеет -знак положительный. Таким образом мы видим, что максимум силовой функции соответствует отрица­ тельным корням а минимум — положительным корням. Напи­ шем для обоих случаев общий интеграл; при отрицательном Р будем иметь : или <7=2 (А sin cosX^). Так как в этом равенстве t входит под знаком sin и cos, то как бы беспредельно ни увеличивалось t, ни одна величина q не может возрастать беспредельно, а будет изменяться только в известных пределах. Таким образом если вывесг1д систему из положения равновесия, то она будет совершать малые ко­ лебания около этого положения. В этом случае мы имеем устойчивое равновесие. Для положительных корней интегралы выразятся урав­ нениями вида: q=ChJ* -^СЧг^е'''' Л-Dlhe'-'^+D' h[e~''' Л-. •. Так как t входит в эти равенства в степенях, т о очевидно, что с возрастанием t будет возрастать также q, и система, ра:-) выведенная из положения равновесия, будет все более и более отклоняться от этого положения. Этот случай соответствует неустойчивому равновесию. Отсюда вытекает теорема. Т е о р е м а . Если сиювая функция в положении равновесия имеет максимум, то положение системы, саопгветствует устой­ чивому рчвновесию-, если же силовая функция имеет мининум, то система находится в положении не\!стойчиво?о равновесия. В частном случае для системы, находящейся под действием сил тяжести, равновесие будет устойчивое, когда центр тяжести будет занимать самое низкое место, так как минимум z соответ­ ствует максимуму С/. 149