Механика системы. Динамика твердого тела.

§ 9. о прочности равновесия системы. Положим, что имеем систему, находящуюся под действием сил, для которых суще­ ствует силовая функция U\ пусть система имеет i свободных перемещений, и положение ее определяется с помощью i неза­ висимых параметров 9^, Допустим, что параметры выбраны так-,.что ,при значениях г (11~Яг~Чъ—' • система находится Ё равновесии. Если система находится в рав­ новесии, то, по теореме Лагранжа, при всяком бесконечно малом уклонении системы от положения равновесия сумма элементар­ ных работ должна быть нулем, и мы должны иметь: ^ ( ^ ^ + KSy-j-ZS^)= 0. Так как силы имеют силовую функцию /7, то написанное условие выражается равенством: (ди , ди ^ . dU .Л sfT л или; oU —^-cqj_+-^-oq^+... Так как все q независимы друг от друга, то 4 ^ = 0 , ~~=0, - ^ -=0 . (На) Это суть те самые равенства, которыми определяется максимум и минимум функции и . Отсгода следует, что когда система находится в равновесии, то силовая функция имеет максимум или минимум' (или имеет место случай, когда первая производ­ ная равна нулю, но нет ни максимума, ни минимума). Если, на­ пример, мы имеем систему, находящуюся под действиег^ сил тянсести, то силовая функция, как известно, есть U —-~MgZ'\-C;. следовательно, для равновесия такой системы необходимо, чтобы z было максимум или минимум, т. е. при равновесии центр тя­ жести занимает или самое высокое, или самое низкое поло­ жения. • Положим, что уравнения (140) удовлетворяются при значе­ ниях которые определяют положение равновесия. Отклоним немного систему от положения равновесия, сооб­ щим ее точкам весьма малые скорости и напишем уравнения . .движения, в форме Лагранжа, предполагая, что параметры q, . . . , и их . производные во время движения системы остаются бесконечно-малыми, квадратами которых мы можем пренебречь. Составим Т и U. 146