Механика системы. Динамика твердого тела.

Приложим начало наименьшего действия к решению, следу­ ющего вопроса. - . Доказать, что материальная точка, двигаясь по какой- нибудь поверхности без действия сил, опи­ сывает кратчайший путь. Вопрос этот был нами рассмотрен в Механике точки, где мы ^ . видели, что материальная точка движется по * геодезической линии (радиус • кривизны на- правлен по нормали к поверхности), и нашли, / что это есть кратчайший путь. Разрешим ' теперь вопрос, не прибегая к геодезической линии. Пусть материальная точка движется 57. по некоторой поверхности и перемеща1тся из положения А (фиг. 57j в положение В. Напишем теорему живых сил; T=U-^h и замечаем, что U —0, так как нет сил, так что T=h. (138). С другой стороны: ^ = • 2 " " ( • § ) • • ( 1 3 ' i t Напишем интеграл W=J 2T.it и представим его в виде; О t О Заменяем Т его значением из (138) и (139), находим: f f f W= J • ]/^/и ^ j " - dt='/2mh • j 2mli • Jds. Варьируя это равенство и заметив, что 8W=0 , имеем: с что и требовалось доказать. Легко показать, что этот путь ма­ териальная точка проходит в кратчайшее время. В самом деле, если перепишем интеграл W, по замене Т через Л, в форме": t • • • W=2hjdt О и совершим интеграцию; W=2ht, то, варьируя последнее равен­ ство, найдемд что bW=Q и 8г ;=о. Н. Е. Шуковокнй, вып. 6—390—10 хт