Механика системы. Динамика твердого тела.

и уравнение (135) примет вид: 'jS=^(U-T)it-A-~ o q + ^ 0 ^ 1 + . . . 136) дд dq^ Уравнение (136) дает выражение для вариации интеграла S в предположении, что конечные положения изменяются и пара­ метры q, Qx, • • • и время t получают приращения. Применяя уравнение (136) к «условиям теоремы Гамильтона, в которой предполагается, что движения системы происходят между двумя определенными положениями в одно и то ж е время, нужнО' положить: 5^=0; (З^)-О; (3<7,)=0; . . . Вследствие этого вариация интеграла 5 будет равна нулю, от­ куда заключаем, что 5 будет иметь минимум. Перейдем к доказательству начала наимеиьшегп действия по Лагранжу. Т е о р е м а Л а г р а н ж а . Интеграл, t J 2 7 r f z : О будет иметь наименьшее значение для действительного два- жения сравнительно со значениями его для других движений^ согласних с кинематическими условиями и совершающихся между теми же начальными и конечными положениями си­ стемы так, чтобы при движении скорости удовлетворяли теореме живых сил, т. е. уравнению : T^U+h. Начала Лагранжа и Гамильтона различаются тем, что 1) в них. рассматриваются различные интегралы, 2) в начале Лагранжа сравниваются не произвольные движения, а только такие, в ко­ торых скорости удовлетворяют теореме живых сил и 3j срав­ ниваемые в начале Лагранжа движения могут происходить не в одно, и то же время, тогда как по началу Гамильтона эти движения должны совершаться в равные времена. Так как по условию начала Лагранжа скорости должны удовлетворять теореме живых сил, то для всех сравниваемых движений должно удовлетворяться уравнение T^U+h, где h—то же произвольное постоянное, что и в действительном движении. Заменим в интеграле W одно Т через U-\-h, тогда I t ' J 2Tdt= f (r +Uj di i J h dt. 0 'ft 0