Механика системы. Динамика твердого тела.

фиг. G, Покажем теперь необходимость этого признака, т. е. пока­ жем, что при равновесии сила непременно образует со всеми возможными перемещениями тупой или прямой угол. Здесь воспользуемся тоже доказательством от противного, т. е. до- докажем, что равновесия быть не может, если сила образует с направлением одного из возможных перемещений острый угол. Пусть имеет место равновесие, а сила Р образует с направ­ лением одного из возможных перемещений острый угол. Рав­ новесие не перестанет су- Р ществовать, если мы при­ бавим новые связи. Пусть этими связями будет усло­ вие, что материальная точ­ ка может двигаться только по линии АВ (фиг. 6). За­ менив механический эффект линии через нормальную силу N, мы можем линию АВ подобрать так, чтобы равнодействующая сил N и Р имела направление os; тогда материальная точка будет двигаться, и равновесия не будет. Следовательно, при равновесии Р zbs острого угла образовать не может, а молсет образовать только угол тупой или прямой. Таким образом, необходимым и достаточным условием рав­ новесия будет: cos (Р, 'jS) < О, или, умножив это неравенство на P-is, Р - OS • cos {Р, OS) < О, так как Р и os существенно положительные величины. Послед­ нее уравнение и есть аналитическое выражение теоремы Ла- гранжа. Пользуясь георемой Лагранжа, решим несколько задач, которые разделим на две категории; к первой категории отне­ сем задачи относительно материальных точек, имеющих только одни неосвобождающие перемещения, а ко второй—задачи от­ носительно материальных точек, могущих иметь как неосво­ бождающие, так и освобождающие перемещения. П е р в а я г р у п п а з а д а ч . Напишем условия равновесия PCOS {Р, os) • OS < 0 . Если материальная точка имеет неосвобождающие перемещения, то, как было замечено выше, эти перемещения двухсторонни, т. е. каждому возможному перемещению os соответствует та­ 16