Механика системы. Динамика твердого тела.

где производные от обобщенных координат: ^=.П' '^'^==/7' =/7- cit ' dt ^1' dt ^2' • • • ' ~ входящие в эти формулы, называются обобщенными скоростями. Прежде чем приступить к выводу уравнений Лагранжа, дока­ жем две вспомогательные леммы. Лемма I. Если выразим живую сал)) системы Т, как функцию от параметров q и их производных по времени, то элементарная работа всех количеств движения, рассматривае­ мых как силы, при перемещении системы, проасходяш,ем от изменения параметра q на Ьд, будет bq. Напишем выражение лсивой силы системы: (109) Если вместо л', у', г' подставим их значения из формул вида (108), то живая сила Т представится функцией второй степени от обобщенных скоростей q', 9,', . . . , Частная производная от этого выражения Т, взятая по q', , будучи умножена на бесконечно малую величину oq, будет равняться сумме эле­ ментарных работ количеств движения при бесконечно малом перемещении системы, происходящем от изменения одной только координаты q на величину од. Количество движения точки с массой т имеет своими про­ екциями тх', ту,' mz', п элементарная работа количеств движения равняется; ^m{x'bx-\-y''jy-\-z'^. (110) Так как мы предполагаем, что изменился только параметр q на бесконечно малую величину bq, то бесконечно малые пере­ мещения 8_у, bz представятся формулами вида; дх X Оу ^ л (9г ^ /1114 '•^^=-5/^'/. • (110 И сумма (109) преобразуется таким образом: {x'r^x+y'oy+z'ozj =Zq т [х' ~+у' ^H-z' . (112) Так как в формулах (108) величины q', q[^ входят толь­ ко в первой степени, то, диференцируя х',у', z' по q', получаем: дх' дх ду' д\1 дг'__дг dq' dq' dq' dq' dq' dq' 123