Механика системы. Динамика твердого тела.

Полный диференциал от силовой функции будет; dx^Y dy^Zdz). По подстановке значений сил находим: dU= —mgdz—m-i^gdzi—m2gdz^ —... , Интегрируем: и=—mgz — m-^gzi^ — ... — Mgz-{-C. Таким образом для сил тяжести: U==~Mgz^C. Пусть С=0 ; тогда L=Mgz, и теорема живых сил для сил тяже­ сти представится уравнением: Это равенство показывает, что если центр тяжести опускается (причем потенциальная энергия убывает], то кинетическая энер­ гия увеличивается; и обратно, когда центр тяжести тела поднимается, то т кинетическая энергия убывает. 2. Система находится под дейст­ вием сил взаимного притяжения точек. Возьмем какие-нибудь две точки, массы которых суть яг и /щ (фиг. 481; расстояние АВ между ними назовём через Гдд, и пусть эти точки дейст- Фиг. 48. вуют друг на друга по какому-нибудь закону, зависящему от расстояния силами Р и Р', так что P=mmif{rQ,i). Заметив, что dU равно сумме элементарных работ всех сил, рассмотрим работы двух сил Р и Р'. Пусть точки та т-^ пере­ местились и заняли положение А'В', причем, вообще говоря, А'В'фАВ. Это движение разложим на два движения: сначала переместим точки из положения АВ в положение А'В" так, чтобы А'В"==АВ, а потом подвинем В" по направлению АВ" в Ь'. В первом движении будут участвовать равные силы Р и Р', и по доказанной нами в начале курса лемме их работа будет равна нулю, т. е. pa6P+pa6iP'=0. Во втором движении будет участвовать только сила Р', которая подвинет В" на расстояние В"В'. Так как В"В' есть не что иное, как приращение dr^^ расстояния Гдд, то работа силы будет: рабаР ' = Р'й?Го f