Исследование систем управления

68 Запишем уравнение Р . Беллмана для непрерывных систем : ( ) 2 2 min . u S S V u V u t V ∂ ∂   − = −µ∆ + + α∆ + β   ∂ ∂∆   (8.11) Необходимое условие минимума ( равенство первой произ - водной от правой части (8.11) по управлению ( ) u t нулю ): 2 0. S u V ∂ + β = ∂∆ (8.12) Вторая производная , равная 2 0 β > , дает достаточное усло - вие минимума . Разрешая (8.12) относительно ( ) u t , получим : 1 . 2 S u V ∂ = − β ∂∆ (8.13) Это выражение содержит неизвестную функцию S . Для ее определения необходимо подставить (8.13) в уравнение (8.11): 2 2 1 . 4 S S S V V t V V ∂ ∂ ∂   − = α∆ − µ∆ −   ∂ ∂∆ β ∂∆   (8.14) Для простоты допустим , что 0 S t ∂ = ∂ [3], тогда получим 2 2 1 0. 4 S S V V V V ∂ ∂   + µ∆ − α∆ =   β ∂∆ ∂∆   (8.15) Решение уравнения (8.15) будем искать в виде квадратуры 2 . S aVK = (8.16) Для определения искомой величины а подставим (8.16) в уравнение (8.15) и , приравняв множители при 2 V ∆ , получим : 2 2 0, a a + βµ − αβ = (8.17)