Исследование систем управления

54 Введем функцию Гамильтона : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , H u t t V t u t = −α + ψ −µ +     (6.10) где ( ) t ψ – множитель Лагранжа , который определяется из сопря - женной системы ( ) ( ) ( ) ; d t H t dt V t ψ ∂ = − = µψ ∂ (6.11) ( ) . t T t = ψ = β (6.12) Так как на управление ограничения отсутствуют , оптималь - ное управление можно определить из условия ( ) ( ) ( ) 1 0, . 2 H u t qI t t u ∂ = ⇒ = = ψ ∂ α (6.13) Таким образом , в рассматриваемой задаче оптимальное управление зависит лишь от множителя Лагранжа ( ) t ψ . В эконо - мических задачах получение управления в виде программы ( ) u t соответствует планам на длительную перспективу . Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы подставим в (6.1) оптимальное управление (6.13) и с учетом сопряженной системы (6.11) получим : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0, , 2 dV t V t t t T dt = −µ + ψ ∈ α ( ) 0 0 , t V t V = = ( ) ( ) , d t t dt ψ = µψ ( ) . t T t = ψ = β Замкнутая система (6.14) представляет собой двухточечную краевую задачу , так как для ( ) V t задано начальное условие при 0 t = , равное 0 V , а для ( ) t ψ – конечное условие при t T = , равное β . (6.14)