Основы проектирования измерительных приборов и измерительно - вычислительных систем

139 где S x ( ω ) – детерминированная спектральная плотность этой реализации . Для того , чтобы описать весь ансамбль реализаций случайного сигнала x ( t ), вводится новая функция ( ) x S ω , которая получила название « спектральная плотность мощности », которая однозначно связана с авто - корреляционной функцией K x ( τ ) случайного сигнала x ( t ) через прямое и обратное преобразование Фурье : 1 ( ) ( ) ; ( ) ( ) . 2 j j x x x x S K e dt K S e d ∞ ∞ − ωτ ωτ −∞ −∞ ω = τ τ = ω ω π ∫ ∫ (4.28) Спектральная плотность мощности ( ) x S ω представляет собой про - изведение S x ( ω ) S x ( ω 1 ) = 2 π S x ( ω ) δ ( ω – ω 1 ), где δ ( ω – ω 1 ) – δ - функция ( функция Дирака ), определяемая выражением ( ) ( ) ( ) 1 1 1 при ; 0 при . ∞ ω = ω  δ ω− ω =  ω ≠ ω  В отличие от спектральной плотности S x ( ω ) физический смысл ( ) x S ω можно выяснить , положив в выражении (4.28) значение интервала τ = 0; K x (0) = 2 x σ – дисперсия случайного сигнала x ( t ): 2 (0) ( ) , x x x K S d ∞ −∞ = σ = ω ω ∫ (4.29) т . е . дисперсия σ x 2 равна сумме вкладов спектральной плотности мощно - сти всех точек частотной оси , следовательно , ( ) x S ω характеризует удель - ную меру мощности флуктуации случайного сигнала x ( t ). По своему физическому смыслу ( ) x S ω ≥ 0, а поскольку ( ) x S ω все - гда вещественна , то она не несет информацию о фазе отдельно взятых реализаций случайного сигнала x ( t ). Для единичного импульса x ( t ) = δ ( t – τ ) автокорреляционная функ - ция K x ( τ ) = δ (0), а спектральная плотность мощности ( ) x S ω = 1. Чем короче во времени импульсный сигнал x ( t ), тем шире его спектр . В предельном случае для единичного импульса δ ( t – τ ) ширина спектра бесконечно велика . Сигнал , имеющий такой спектр , называется белым шумом .