Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

66 Докажем единственность наименьшего элемента 0 а . Допус - тим , что существует два наименьших элемента 0 а ′ и 0 а ′ . Тогда по определению 0 0 0 0 & а Ra a Ra ′ ′′ ′ ′ и в силу антисимметричности отно - шения R получаем равенство 0 0 а a ′ ′′ = . Аналогично доказывается единственность наибольшего элемента . В общем случае минимальных ( максимальных ) элементов в упорядоченном множестве может быть несколько . Последнее характерно для частично упорядоченных множеств . Различные минимальные ( максимальные ) элементы несравнимы . Пример 5.10. Пусть задана система семи множеств { 1 , F A = } 2 7 , ... , A A , изображенная на рис . 5.4, а . Рис . 5.4. Пример частично упорядоченного семейства множеств F и соответствующая ему диаграмма Хассе Эта система множеств вместе с отношением включения мно - жеств ⊂ образует частично упорядоченное множество ( , ) F ⊂ . Минимальными элементами этого семейства являются мно - жества 1 5 7 8 , , , A A A A , а максимальными – 3 4 6 , , A A A . Наибольшего и наименьшего элементов это упорядоченное множество не имеет .