Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

65 Встречаются фамилии разной длины ( с разным числом букв ). Для того , чтобы уравнять длины фамилий авторов можно , например , приписать к « коротким » фамилиям первую букву алфа - вита необходимое число раз . При этом все « короткие » фамилии будут предшествовать « длинным » фамилиям с тем же началом . Остальные свойства перечисленных отношений предлагает - ся проверить читателю в качестве упражнения . Пусть ( , ) A R – упорядоченное множество . Элемент min а A ∈ называется минимальным элементом этого множества , если не су - ществует элемента min b а ≠ , предшествующего min а , т . е . такого , что min bR а ( в других обозначениях min b а p ), т . е . min : b A bRa ¬∃ ∈ . Это значит , что min b а ∀ ≠ либо элементы min а и b несравнимы , либо min а Rb . Итак , минимальный элемент min а A ∈ упорядоченного множества ( , ) A R удовлетворяет условию : min ( ) b A bR а ∀ ∈ ¬ . Элемент 0 а A ∈ называется наименьшим элементом упорядо - ченного множества ( , ) A R , если 0 b A а Rb ∀ ∈ . Элемент max а упорядоченного множества ( , ) A R называется максимальным элементом этого множества , если не существует элемента max b а =/ , следующего за max a , т . е . такого , что max а R b . Зна - чит , элемент max а – максимальный , если b A ∀ ∈ , либо элементы max а и b несравнимы , либо max bR а , т . е . min : b A bRa ¬∃ ∈ . Последнее означает , что max ( ) b A а Rb ∀ ∈ ¬ . Элемент 0 а A ∈ называется наибольшим элементом упорядо - ченного множества , если 0 b A bR а ∀ ∈ . Наименьший и наибольший элементы , в отличие от мини - мального и максимального элементов , сравнимы со всеми элемен - тами множества . Из определений следует , что наименьший ( наибольший ) эле - мент , если он существует , является также и единственным мини - мальным ( максимальным ) элементом упорядоченного множества .