Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

63 Отношение B R называют порядком , индуцированным отно - шением R во множестве B . Если из контекста ясно , о каком поряд - ке R идет речь , то говорят , что A – упорядоченное множество , а B – подмножество упорядоченного множества A . Таким образом , любое непустое подмножество упорядоченного множества являет - ся упорядоченным множеством относительно индуцированного в нем порядка . Часто вместо ( , ) B B R пишут ( , ) B R , обозначая ин - дуцированное отношение B R тем же символом R , что и исходное отношение . Пусть R – отношение порядка . Тогда , если элементы , a b A ∈ связаны этим отношением , т . е . aRb bRa ∨ , то говорят , что они сравнимы между собой . В противном случае элементы a и b назы - ваются несравнимыми . Это значит , что ( ) & ( ). a Rb bRa ¬ ¬ Отношения порядка называют также отношениями предше - ствования и , если aRb , то говорят , что элемент a предшествует эле - менту b или что a не превосходит b ; можно также говорить , что элемент b следует за элементом a . Отношение порядка R ( строгого или нестрогого ) называется отношением линейного или совершенного порядка , если оно полно , т . е . , ( ) a b A a b a R b bRa ∀ ∈ = → ∨ / . В случае , когда на множестве A задано отношение линейного порядка , множество A называется линейно упорядоченным или цепью . Цепями называют также ли - нейно упорядоченные подмножества упорядоченного множества ( , ) A R . В линейно упорядоченном множестве любые два различных элемента сравнимы . Если отношение порядка R не является линейным порядком , т . е . не полно , то оно называется частичным порядком . Множество A в этом случае называется частично упорядоченным . В частично упорядоченном множестве имеются различные , несравнимые эле - менты .