Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

61 Симметричность . Имеем 0 0 , ( : , a b A B a b A β ∀ ∈ ∃β ∈ ∈ 0 →∃β ∈ 0 : , ) B b a A β ∈ ∈ , т . е . , ( ) a b A aRb bRa ∀ ∈ → . Отношение R – симмет - рично . Транзитивность . Справедливо утверждение , , a b c A ∀ ∈ 1 2 1 2 1 2 ( : , ) & ( : , ) ) B a b A B b c A β β ∃β ∈ ∈ ∃β ∈ ∈ →β = β , так как классы разбиения не пересекаются . Это значит , что все три элемента , , a b c принадлежат одному классу разбиения . Таким образом , , , ( & ) a b c A aRb bRc aRc ∀ ∈ → . Отношение R – транзитивно . Тео - рема доказана . Отношениями эквивалентности в частности являются : • Отношение параллельности прямых на плоскости . • Отношение равенства остатков при делении на m на мно - жестве натуральных чисел . Это отношение называют равенством по модулю m ( см . пример 5.6). • Отношение R на множестве действительных чисел R , опре - деленное следующим образом : , ( ( ) ) a b a R b a b ∀ ∈ ↔ − ∈ R Q . Здесь R и Q соответственно множества действительных и рацио - нальных чисел . • Отношение тождества {( , ) : } A a a a A θ = ∈ на множестве A . В частности отношение равенства чисел (5.1). • Отношение подобия геометрических фигур . • Отношение равномощности множеств ( см . гл . 9). Если отношение R рефлексивно и симметрично , но не тран - зитивно , то оно называется отношением толерантности . Отноше - ния толерантности выражают идею сходства ( ослабленного подо - бия ): похожие на одно и то же не обязательно похожи друг на друга .