Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

34 Из доказанных утверждений непосредственно следует , что композиция биекций является биекцией , так как по определению биекция является инъекцией и сюръекцией одновременно . Теорема 2.4. Если : f X Y → – биекция X на Y , то 1 x f f I − = o и 1 y f f I − = o . Доказательство . Пусть x X ∈ – произвольный элемент множества X и ( ) y f x Y = ∈ . Тогда ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x f f x f f x f y x I x − − − = = = = o , т . е . 1 x f f I − = o . Аналогично y Y ∀ ∈ ( ) 1 ( ) f f y − = o ( ) 1 ( ) ( ) ( ) y f f y f x y I y − = = = , т . е . 1 y f f I − = o . Что и требовалось доказать . Пользуясь ассоциативностью композиции , легко доказать , что , если f и g биекции , то ( ) 1 1 1 f g g f − − − = o o . (2.17) Если функция : A A ϕ → отображает множество A в ( на ) се - бя , то определены композиции раз ... n ϕ ϕ ϕ o o o 14243 при любом 2 n ≥ , кото - рые обозначаются символом n ϕ . Таким образом : a A ∀ ∈ ( ) 1, ( ) ( ) n n n a a κ −κ ∀κ∈ ϕ = ϕ ϕ o , т . е . n n κ −κ = ϕ ϕ ϕ o . Считается , что 1 0 , A I ϕ = ϕ ϕ = .