Дискретная математика. Множества. Отображения. Отношения

12 Из приведенных определений следуют , в частности , соот - ношения : A B A ∩ ⊂ , A B B ∩ ⊂ , A A B ⊂ ∪ , B A B ⊂ ∪ , A B ∩ ⊂ A B ⊂ ∪ , A A A ∩ = , A A A ∪ = . Справедливо также , что A B ⊂ → ( ) ( ) & A B A A B B → ∩ = ∪ = . Каждое из условий A B A ∩ = , A B B ∪ = достаточно для включения A B ⊂ , т . е . а ) A B A A B ∩ = → ⊂ и б ) A B B A B ∪ = → ⊂ . Действительно , от противного : если ( & ) ( & ) A B x x A x B x x A x A B ⊂ →∃ ∈ ∉ →∃ ∈ ∉ ∩ → / A A B = ∩ / , что противоречит условию A B A ∩ = . Таким образом , доказано ут - верждение а ). Аналогично доказывается утверждение б ). Итак , A B A B A ⊂ ↔ ∩ = и A B A B B ⊂ ↔ ∪ = . Отсюда сле - дует , что A B A ∩ = ↔ A B B ∪ = . Разность \ A B называется до - полнением множества B во множестве A . Дополнение множества A во множестве Ω ( \ ) A Ω называется дополнением множества A и обо - значается символом А : А { } = \ : A x x A Ω = ∉ . (1.2) Иногда удобно изображать соотношения между множества - ми в виде так называемых диаграмм Венна : универсальное множе - ство изображается в виде прямоугольника , а остальные множества в виде некоторых подобластей этого прямоугольника . На приве - денных диаграммах ( рис . 1.1) заштрихованы области , соответст - вующие множествам A B ∩ , A B ∪ , \ A B , А . Разность множеств \ A B можно представить в виде : \ A B A B = ∩ . (1.3) Множество 2 Ω с операциями , , − ∩ ∪ образуют алгебру 2 ; , , Ω − ∩ ∪ , называемую алгеброй множеств ( общее понятие ал - гебры рассмотрено в [9]).