Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

рого времени за кошками, появляющимися из-за угла дома, в котором вы живе­ те и видя, что всякий раз кошка оказывается серой, вы можете сделать умозак­ лючение: «все кошки - серые». Конечно это не так н, следовательно, гипотеза оказалась ошибочной. Поэтому возникает необходимость в умении доказывать истинность подобных утверждений. Вот если бы мы могли строго доказать следующее утверждение: «сколько бы серых кошек ни появлялось из-за угла, следующая обязательно снова будет серой», то мы бы доказали, что все кошки серые. Действительно - первая кош­ ка была серой, но мы доказали, что тогда и вторая - серая, и третья - тоже се­ рая, и четвертая, и пятая и т. д. Увы, доказать взятое в кавычки последнее ут- • верждение мы не можем. Иная ситуация в математике, где существует так называемый принцип математической индукции. Мы сейчас познакомимся с простейшим вариантом этого принципа. Предположим, что Р{п) - некоторое утверждение (высказывание), зави­ сящее от натурального числа п. ПРИНЦИП математической индукции. Утверждение Р(п) считается доказанньш если: I) доказано Я(1), 2) для любого натурального п из предположения, что верно Р(п), выведено, что вер­ но также Р{п +1). Обычно доказательство утверждения /^(1) называют первым шагом ши базисом индукции, предположение о верности Р{п) называется индуктивным предположением, а доказательство /"(n + l) называется индукционным перехо­ дом. Смысл этого принципа ясен: индукционный переход мгновенно «строит бесконечную лестницу с натуральными ступеньками». Пример: доказать утверждение: 1 + 2+3 + (2,1) Доказательство. При п = I формула верна. Предположим, что формула верна для «. Рассмотрим l+2+3+ ...+n+(w+l). Используя индуктивное предположение получим: 1 , 1 т / 1 , п(и + 1) , (п + 1)(н + 1) l + 2+3 + ..,+ )i + ( «4-l) =- i i + (n + l) = -i 2 2 то есть формула (2.1) доказана для любого п. 20