Математическая логика и теория алгоритмов

3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. 4. АксиомаПаша. Пусть А, В,С - три точки, не лежащие на од­ ной прямой, н а - некоторая прямая в плоскости ABC, не содержащая ни одной из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через точку отрезкаЛД то она проходит также либо через точку отрезка ^С, либо через точку отрезка ВС. Кроме, эгих групп аксиом, задается еще третья группа - а к с и о м ы конгруэнтности (5 аксиом), четвертая группа ~ аксиомынепрерывно­ сти (2 аксиоиы) и пятая группа - аксиома параллельности. Здесь не приводятс? все эти аксиомы, ибо наша цель - не изучение геомет­ рии, а только рассмотрение, каким образом (методом) задается геометрия. Однако все же приведем аксиому параллельности как для евклидовой геометрии (аксиома Евклида), так и для неевклидовой геометрии (аксиома Лобачевского). АксиомаЕвклида. Пусть а - произвольная прямая ч А - точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через и не пересекающей а. АксиомаЦобачевского. Пусть а - произвольная прямая и А - точка, лежащая вне прямой а, тогда в плоскости, определенной точкой А и прямой а, можно провести не менее двух прямых, не пересекаю­ щихся с заданной прямой а. Если примем первые четыре группы аксиом и аксиому Евклида, то получим евклидову геометрию. Если примем первые четыре группы аксиом и аксиому Лобачев­ ского, то получим неевклидову геометрию (геометрию Лобачевского - Бойяи-Гаусса). Из аксиом логическими методами уже получаются теоремы геометрии, однако этим заниматься не будем. Еще раз отметим, что в полуформальной аксиоматической теории система логических пра­ 145