Xl Туполевские чтения : всероссийская (с международным участием) молодежная научная конференция. Казань, 8-10 октября 2003 г., тезисы докладов. Т. 3

Вычисление коэффициентов разложения обратной функции в ряд Тейлора М.В. Косова Научный руководитель; Е.А. Журавлев, к.т.н., доцент Марийский государственный технический университет Как правило, даже для элементарных функций представление об­ ратных функциональных зависимостей в аналитической форме оказывает­ ся невозможным. В работе предлагается простой способ приближенного представления обратных функций, особенно удобный для зависимостей выражаемых полиномами . Пусть в окрестности точки хо известны коэффициенты ац. . . . ,а„ разложения функции у =j[x) в ряд тейлора, причем а\ = / ' ( Хц) * О. Ставится задача вычисления коэффициентов Ьо, Аь . .. , Ь„ разложе­ ния в ряд Тейлора в окрестности точки = f(i^i функции х = , (у) обрат­ ной функции у =/ ( х ) . Для решения поставленной задачи дифференцируем почленно по у тождество у =/ [ " (у)]. В результате получим ряд соотношений : o =/ ' ( p f + / V " . ^ = ГW ? + 3 / > V ' - b / > " , о = ((p'f +Ь Г ( (р'р- ч-г Г ( ( р ' р - +if'cp'tp' +Г<р''^К... и т.д., Из которых, учитывая известные выражения для коэффициентов ря­ да Тейлора, можно рекуррентным способом выражать коэффициенты раз­ ложения 6, через известные коэффициенты а \ , . . ., а , . Так получим: B(i =Xo,bi= Oj"', bj = -02 , A3 = -(03 -t-202^1 ' jfl]"*,... (1) Например, для y = = 2- i-x^b точке x=l: ao= 3, ai =2, £ Ji=1, Оз=0. Для обратной функции в точке у = 3 по формулам (1) получаем: Во=1, А]= 1/2, 62 = -1/8, 63= -1/16, т.е. ^(у) = (\-7у + 7у^ -у^ J/16 Следует заметить, что обшей формулы, выражающей Ь, черезO i , , а , не существует. В противном случае мы получили бы общее выражение для представления любого десятичного знака иррационального числа, что , как известно, [1] невозможно. Полученные результаты могут найти применение в задачах анализа и синтеза механизмов, а также в области приближенных вычислений. Литература: 1. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. - М,, Мир, 1966, 198 с. 13