Теория графов и комбинаторика

Случай а): + С8.3) т.е. дая лЕкЗого непустого ообстввнного подмиожвстаа первой доли неравенство из уоловия теореш отрогов ("вшолЕяетоя о запа­ сом"). Вгбврвм и найдем сменную ей верцгину 0 * ^ 6 С у щ в с т » вопаниа такой верпшнн'УХ следует из условия тоораш. Считаом Раоомотрам граф = ^ , ) ( ' ) , где Х' =Х Ч с с £ Х V % б х ) . Докажем, что в графе оуществуат совершенное парооочетание из ' V/ ч V/ . Для графа $•' выполняется условие теореш. Действитель­ но, V / c V , ' Из (8.3) получим нер-^зенство/МСА') I ^ . Отсвда ^ i-A'l • Теперь, учитывая, что I V/1 < Hi , по индуктивному предполозшияю делаем вывсд о иущем .овании Оо~ верпеншто яарооочетания: i " ? V/ Уд, а двудольном графе ^ Обьедшш вщуаднше рээдлыгаты, получим сювершенное парооочета- дав I i ¥ JL, В (& аю шравялу V « v < ЗДЦЛ . — 5 (ОГ),« 1 М Случай S ) , Для некоторого подмножаотва 6><^Vi условие тооре- ш внполнявтоя "без запаса": 5 6 . c V i 1 6 ! . <8.5) Так как каждое подмножество множества S является подмножест­ вом' множества , то V f c ' c B . Учитг ая, что Ifel < W , но йндуктивнс.„у прадиоложешш делаем вывод оу - щйетвованш! в графа & освврпеяяого пароосчетания иа 6> в . Обозначим его 1 Ь Va^ . Так как 1М«С&)Ые,| , то. M(fii) = f i ' C&K Удалам из графа <? множества вершин В и^-.Сб). Полученнай граф обозначим : ^'='(Ц'>й,^^ч^^Сй), X ) , Заме­ тим, что Для яриненбиия индуктивного пред-' полокепта йвдо убедаться в том, чво для (Зниолиявтся условно тоорвма, т.е. уоловие , V S C V , X F E < S U J H C S ) R K V J . \ F ^ C E . H L . • ( В . 6 ) Допустим противное; I S , c v , s & : 1M( S , ) n<? , { a ) ) i < 1 3 « | ; ( a . ? ) 50