Теория электромагнитного поля

Рис. 2.5. Схема замещения трех проводящих тел 2.5. Уравнение Лапласа для электростатического поля Для электростатического поля справедливо соотношение между градиен­ том скалярного потенциала и вектором напряженности электрического поля: Ал - л - л -Л Е = -grad9= V Эф Эф Эф дх' ду' dz (2.6) / Вектор напряженности Е подчиняется уравнению Гаусса в дифференциальной форме: edivii = 8 (2.7) Эх Ъу dz где р - объемная плотность электрических зарядов. Объединяя эти уравнения, получаем дифференциальное уравнение в част­ ных производных второго порядка: = -р- ^Э^Ф _^Э^Ф _^Э^Ф^ у Эх^ ду^ dz^ j (2.8) Это уравнение Пуассона. Если объемные заряды отсутствуют, то получаем уравнение Лапласа: Э^Ф Э^ф Э^ф 0. (2.9) Ъх^ Ъу^ dz^ Рассмотрим случай неизотропной среды, когда диэлектрическая прони­ цаемость имеет различные значения по осям х, у, z. В этом случае уравнение (2.7) приобретает вид: 37