381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

58 Перейдем к измеряемой в герцах частоте k v согласно соот - ношению 2 k k v ω = π , получаем : ( ) 2 k i v x k k f x c e +∞ π =−∞ = ∑ , (45) где ( ) ( ) 2 1 k T i v x k k c c v f x e dx T α+ − π α = = ∫ . Разложение (45) показывает , что периодическая функция ( ) f x может быть выражена через частотные составляющие 2 k i v x k c e π с частотами 1 2 1 1 , 2 , ..., ,... k v v v v kv = = , образующими ее спектр частот . Таким образом , если дана функция ( ) f x , то можно опреде - лить ее спектр частот . Справедливо и обратное : по известному спектру частот можно найти соответствующую периодическую функцию . В связи со сказанным вводится понятие спектральной функ - ции ряда Фурье . Определение . Спектральной функцией или спектральной плотностью ( ) k S v ряда Фурье называется отношение комплексной амплитуды ( коэффициента Фурье ) ( ) k k c c v = функции ( ) f x пе - риода T к приращению частоты k v ∆ : 1 1 1 k k k k k v v v T T T + + ∆ = − = − = , (46) т . е . ( ) ( ) ( ) 2 k T k i v x k k c v S v f x e dx v α+ − π α = = ∆ ∫ . (47)