381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

22 ( ) ( ) 3 0 0 2 2 2 sin sin 5 1 sin 3 T T k x b f x k xdx f x k xdx k xdx T T T α+ α   = ω = ω = − ω =     ∫ ∫ ∫ 3 0 2 5 1 1 1 cos 3 3 3 cos sin udv uv vdu x dx x u du k x T k k x dv k xdx v k   = −     ⋅         = = − ⇒ = − = − − ω −         ω         ω   = ω ⇒ = −   ω   ∫ ∫ [ ] 3 3 2 0 0 2 5 1 1 2 5 1 2 5 1 cos 0 1 cos 3 3 k xdx k xdx T k T k k ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ω = − ⋅ − − ⋅ ω = ω ω ω ∫ ∫ 3 2 2 0 3 2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5 sin sin 2 0 3 3 ( ) 3 2 sin0 0 k x k k k k k k ω⋅ = π   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = − ω = π = = = =   ω ω ω π π   =   . Ряд Фурье , согласно (12), запишется в виде ( ) 1 2 sin 5 5 3 5 1 3 2 k k x x f x k ∞ = π         = − = +   π   ∑ . (20) На интервале (0,3) функция ( ) f x непрерывна . Поэтому во всех внутренних точках этого интервала сумма ряда равна ( ) 5 1 3 x f x   = −     . В граничных точках , т . е . при 0 x = и 3 x = , имеем sin0 0, = sin 3 sin 2 0 k k ω⋅ = π = , следовательно : 1 0 2 sin 3 0 k x k x k ∞ = = π       = ∑ и 1 3 2 sin 3 0 k x k x k ∞ = = π       = ∑ .