Математический анализ. Определенный интеграл и его приложения

функции f(x)), a из расходимости интеграла / ( х ) dx следует рас­ ходимость интеграла g{x^dx. Теорема 2. Если существует предел / ( ^ ) lim - - = к, О < к < -Ьоо, х->а д{х) причем для некоторого положительного числа 5 при а < х < а + 5 справедливы неравенства f(x) > О, g(x) > О, то из сходимости несоб- ственного интеграла ^ ( x ) d x следует сходимость несобственного интеграла / (х) dx, а из расходимости интеграла д (х) dx еле- дует расходимость интеграла / ( x ) d x (точка а - особая точка). Теорема 3. Если сходится несобственный интеграл | / ( x ) | dx , то сходится интеграл / (х) dx (а - особая точка функции f(x)). Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогда он называ­ ется абсолютно сходящимся, если, наряду с ним, сходится интеграл (4) и условно сходящимся, если интеграл (4) расходится. Замечание. Для исследования сходимости интеграла (2) по теоремам 1 и 2 функцию f(x) часто сравнивают со степенной функ­ цией ^ (см. пример 2). Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл Решение : Подынтегральная функция имеет особую точку X = 0. В окрестности О бесконечно малая функция 1п(1 -Ь х ) экви­ валентна X, а функция х^ + 4х^эквивалентна х^. Тогда, сравнивая X 1 подынтегральную функцию с дробью ^ ~ < получим 31