Основные понятия математической физики

9 В отличие от общего решения обыкновенного дифференци - ального уравнения , содержащего произвольные постоянные , мно - жество решений уравнений в частных производных содержит про - извольные функции . Классификация уравнений 2- го порядка Определение 4. Уравнение (2), в зависимости от коэффици - ентов при старших производных , может быть в некоторой области D на плоскости xOy : • гиперболическими : 2 12 11 22 0 a a a − > , 11 12 11 21 21 12 21 22 0 a a a a a a a a δ= = − < ; • параболическими : 2 12 11 22 0 a a a − = , 0 δ = ; • эллиптическими : 2 12 11 22 0 a a a − < , 0 δ > . Для того , чтобы упростить уравнение (2), перейдем к новым переменным ( ) φ , x y ξ = и ( ) ψ , x y η = , выбранным таким образом , чтобы некоторые коэффициенты при производных 2- го порядка , т . е . при старших производных , стали равны нулю . Выбор новых переменных связан с решением характеристического уравнения , соответствующего уравнению (2): 2 2 11 12 22 2 0 a dy a dxdy a dx − + = (4) ( обратить внимание на знак перед коэффициентом 12 a – знак , об - ратный тому , что в заданном уравнении (2)). Уравнение (4) может быть записано в виде квадратного урав - нения относительно dy dx : 2 11 12 22 2 0 dy dy a a a dx dx   − + =     .