Основные понятия математической физики

8 Пример 4. 2 2 y xx y U x U e − ′ ′ = + – линейное уравнение ; 2 3 0 x y yU xU U ′ ′ + + = ; 2 2 U U U xy x y ∂ ∂+ = ∂ ∂ – нелинейные уравнения . Линейное дифференциальное уравнение 2- го порядка ( 2 m = ) функции двух переменных имеет вид ( ) 2 2 2 11 12 22 1 2 2 2 2 , U U U U U a a a b b cU f x y x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , (2) где ij a , k b , c – функции двух переменных , x y , ( ij a , k b , c могут быть и постоянными ), заданные в области D ( ) 1 , , 2 i j k ≤ ≤ . Если ( ) , 0 f x y ≡ , то уравнение называется однородным . Краткая запись уравнения (2): [ ] ( ) , L U f x y = , где L – ли - нейный дифференциальный оператор , определенный на ( ) 2 C D . Линейное однородное уравнение запишется как [ ] 0 L U = . (3) Свойства решений : 1. Если ( ) , U x y , то решение уравнения (3), то ( ) , cU x y , где const c − , – тоже решение . 2. Если ( ) 1 , U x y и ( ) 2 , U x y , то решения уравнения (3), то 1 2 U U + также его решение . 3. Если ( ) , U x y – решение уравнения [ ] ( ) , L U f x y = , а ( ) , V x y – решение [ ] 0 L U = , то U V + – решение уравнения [ ] ( ) , L U f x y = . 4. Если ( ) 1 , U x y – решение уравнения [ ] 1 L U f = , а ( ) 2 , U x y – решение уравнения [ ] 2 L U f = , то 1 2 U U + – решение уравнения [ ] 1 2 L U f f = + ( принцип суперпозиции ).