Основные понятия математической физики

4 Пусть имеем дифференциальное уравнение в частных произ - водных (1) порядка m . ( ) m C D – множество функций , непрерыв - ных в области D вместе со всеми производными до порядка m включительно . Определение 2. Решением уравнения (1) в области D назы - вается всякая функция ( ) ( ) 1 2 , ,..., m n U U x x x C D = ∈ такая , что под - становка функции ( ) 1 ,..., n U x x и ее производных в уравнение (1) обращает его в тождество в области D . Пример 1. Решить уравнение 2 4 U x y ∂ = ∂ ∂ , где ( ) , U U x y = . Решение . Интегрируем уравнение по x : ( ) 4 φ U x y y ∂ = + ∂ ; полученное уравнение интегрируем по y : ( ) ( ) ( ) 1 2 , 4 φ φ U x y xy y x = + + , где φ , 1 φ , 2 φ – произвольные функ - ции , ( ) 1 φ φ y dy = ∫ . Пример 2. 1. Уравнение 2 2 0 U U x y   ∂ ∂   + =     ∂ ∂     имеет решения ( ) , const U x y = – множество действительных решений . 2. Уравнение 2 2 2 0 U U a x y   ∂ ∂   + + =     ∂ ∂     таково , что у него нет действительных решений . Пример 3. Решить уравнение 2 2 U U y x y x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . Решение . Запишем данное уравнение в виде 2 0 U U y y x x ∂ ∂ ∂   − =   ∂ ∂ ∂   .