Автоматизация сбора и первичной обработки информации

91     1 0 1 1 1 1 ... N N S t a a t a t S t      ; . . .     0 1 ... N N N N N N S t a a t a t S t      . Решение этой системы может быть представлено в виде интерполяционного полинома Лагранжа:             0 к 1 к к к к к 0 к 0 к 0 к ˆ ˆ N i i N N i N N i i i t t S t S t S t W t t t t                 ,   0 , N t t t  , (4.4) где весовая функция                   0 1 к 1 к 1 к к к 0 к 1 к к 1 к к 1 к ... ... ... ... N N t t t t t t t t t t W t t t t t t t t t t t t                 ; (4.5) ( ) S t – интерполирующая функция;   к ˆ S t – оценка значения отсчета в момент i t с учетом его зашумленности;   к к W t t  – весовая функция (принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 – во всех других);   0 N t t  – интервал интерполяции. Нетрудно убедится, что выражение (4.4) является многочленом степени N, проходящим через N+1 точку. Полиномы Лагранжа широко используются на практике вследствие простоты реализации на ЭВМ. Чаще всего используют полиномы низких порядков, наиболее просто вычисляемые: – нулевой (ступенчатая интерполяция, рис. 4.16, а ) – первый (линейная интерполяция, рис. 4.16, б ). При ступенчатой интерполяции (N=0) из общих формул (4.4) и (4.5) получим:   0 ( ) S t S t  , 0 0 t t t t     При линейной интерполяции (N=1) будем иметь:     1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) t t t t S t S t S t t t t t       , 0 1 t t t   . Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Бесселя, Стирлинга и другие являются разновидностями интерполяционной формулы Лагранжа, которая часто неудобна тем, что в ней нельзя пренебречь ни одним слагаемым в отличие от формулы Ньютона, где в качестве слагаемых используются многочлены повышающихся степеней, позволяющие априори определить число слагаемых, требующих вычисления для достижения желаемой точности. Поэтому часто применяется интерполяционная схема Эйткина. Отклонение оценки ( ) S t от исходного измеряемого сигнала S ( t ) или погрешность восстановления можно оценить различными показателями, из которых в основном используются следующие: 1. Показатель наибольшего отклонения (равномерного приближения), характеризующий максимальное абсолютное значение погрешности восстановления на интервале наблюдения t  по множеству реализаций: max maxmax ( ) i i t t E E t   , где 1 ( ) ( ) ( ) i i i E t S t S t   – текущая погрешность восстановления, i – номер реализации. Показатель обладает тем достоинством, что позволяет учесть все изменения восстановленного процесса, включая короткие выбросы. Показатель равномерного приближения используется при