Кинематика и Кинетика

131 притягивающее . Величина силы ( ) может быть любой непрерывной однознач- ной функцией r . Векторное уравнение (17.32) эквивалентно трем скалярным (проекциям на оси): = ( ) , = ( ) , = ( ) , и = √ 2 + 2 + 2 . Проверим выполнение условий (17.29) теоремы 2 = ( ( ) ) = ( ( ) ) , = ( ( ) ) = ( ( ) ) . Видим, что = . Остальные равенства в условиях (17.29) также вы- полняются. Таким образом, любое центральное силовое поле является потенци- альным. Потенциальная энергия равна = = ∫ ∆ ̆ = ∫ ̅ ∙̅ ̆ = ∫ ( )̅ ∙̅ = ∫ ( ) 0 ∗ 0 ∗ . (17.33) Рассмотрим частные случаи центрального силового поля: а). Гравитационное силовое поле ( ) = − 1 2 2 , где f – гравитационная постоянная, 1 и 2 массы взаимодействующих точек, r – расстояние между этими точками. Нулевую фиксированную точку выберем бесконечно удаленной. Тогда в соответствии с (17.33) получим = ∫ − 1 2 2 = − 1 2 ∞ . Тогда работа сил этого поля на конечном перемещении равна 12 = 1 − 2 = 1 2 ( 1 − 2 ) 1 2 . ). Силовое поле линейной пружины . Пусть один конец пружины закреп- лен в начале координат, длина недеформированной пружины равна , положе- ние второго конца пружины определяется ее длиной . Тогда ( ) = − ( − 0 ). При < 0 восстанавливающая сила пружины является отталкивающей по отно- шению к центру (началу координат), при > 0 – притягивающей. Нулевую фиксированную точку выберем на расстоянии от центра, Тогда в соответствии с (17.33) получим = ∫ − ( − 0 ) = с ( − 0 ) 2 2 = 2 2 , 0 где = | − 0 | – модуль приращения (деформации) длины пружины.