Кинематика и Кинетика

130 Используя (17.28), получим Δ = + + = − ( Π + Π + Π ) . Так как потенциальная энергия зависит только от координат точки, то выраже- ние, стоящее в скобках, равно полному дифференциалу Π . Таким образом, элементарная работа потенциальных сил равна полному дифференциалу от потенциальной энергии, взятому с противоположным зна- ком: Δ = − Π . (17.30) Тогда мощность потенциальных сил равна полной производной от потен- циальной энергии по времени взятой с противоположным знаком : = − Π . (17.31) Рассмотрим вычисление кинетической энергии для некоторых часто встречающихся силовых полей. 1. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Пусть ось Oz направлена по восходящей вертикали, плоскость Oxy – горизонтальная плоскость. Тогда поле силы тяжести задается проекциями силы тяжести на эти оси: = 0, = 0, = − . Легко проверить, что условия (17.29) теоремы 2 выполняются, и, следова- тельно, силовое поле силы тяжести является потенциальным. Выберем за нуле- вую фиксированную точку О (начало координат) и произвольную точку М с ко- ординатами x, y, z . По определению потенциальной энергии (17.27) находим = = ∫( + + ) ̆ = ∫ − = . 0 Тогда работа силы тяжести на конечном перемещении равна 12 = 1 − 2 = ( 1 − 2 ) = ℎ, очевидно, что ℎ > 0 при 1 > 2 и ℎ < 0 при 1 < 2 . 2. Потенциальная энергия центрального силового поля. Если линии действия всех сил стационарного силового поля проходят через некоторую точку поля (центр), то силовое поле называется центральным силовым полем . Если за центр выбрать начало координат, то центральное силовое поле задается вектор- ным уравнением ̅ = ( )̅ , (17.32) где ( ) = ± ( ) – проекция силы на направление радиуса-вектора, если ( ) > 0 , то силовое поле отталкивающее , если ( ) < 0 , то силовое поле