Кинематика и Кинетика

129 Доказательство. Выберем вместо точки 0 ∗ другую нулевую фиксирован- ную точку 0 ∗∗ и обозначим соответствующую потенциальную энергию через ′ . По определению Π ′ = 0 ∗∗ . Так как работа сил потенциального силового поля не зависит от вида траектории соединяющей точки, то выберем такую траекторию от точки М до точки 0 ∗∗ , чтобы она проходила через точку 0 ∗ (рис.17.12). Разбивая траекторию от точки М до точки 0 ∗∗ на два участка, получим Π ′ = 0 ∗∗ = 0 ∗ + 0 ∗ 0 ∗∗ . Здесь первое слагаемое равно потенциальной энергии (17.27), а второе слагаемое постоянно. Таким обра- зом, имеем Π ′ = Π + const , что и доказывает теорему. Найдем, чему равна работа сил потенциального силового поля по перемещению материальной точки и положения 1 в положение 2 (рис.17.13). По- скольку работа 1 2 не зависит от вида траектории, соединяющей эти точки, то можно выбрать траекто- рию от точки 1 до точки 2 проходящую через ну- левую фиксированную точку 0 ∗ (рис.17.13) и разо- бьем ее на два участка. Тогда получим 1 2 = 1 0 ∗ + 0 ∗ 2 = 1 0 ∗ − 2 0 ∗ = Π 1 − 2 , работа сил потенциального силового поля при перемещении материальной точки равно разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках . Стационарное силовое поле обычно задается проекциями силы на оси ко- ординат (17.26). Приведем две теоремы (без доказательства) о существовании потенциального силового поля. Т е о р е м а 1 . Для того чтобы стационарное силовое поле было потенци- альным, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая непрерывная однозначная функция координат ( , , ) , называемая потенциальной энер- гией, частные производные от которой удовлетворяют равенствам = − Π , = − Π , = − Π (17.28) Т е о р е м а 2 . Для того чтобы стационарное силовое поле было потенци- альным, необходимо и достаточно, чтобы были равны смешанные частные про- изводные: = , = , = . (17.29) Рис. 17.12. Z Y X 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗∗ 2 Рис. 17.13. Z Y X 1 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗