Методы наименьших квадратов и наименьших модулей в научно-технических расчетах

69 ( ) 1 2 ; , ,..., m y f x a a a = % , (2.5) где f % – известная функция ; 1 2 , ,..., m a a a – неизвестные постоянные , число которых т обычно меньше числа точек i M , т . е . т < п . Тре - буется определить эти постоянные . Если значения ( ) , i i x y точно связаны зависимостью (2.5), то параметры 1 2 , ,..., m a a a могут быть найдены из системы уравнений ( ) ( ) 1 2 ; , ,..., 1,2,..., j j m y f x a a a j n = = % . (2.6) Однако на практике значения ( ) , i i x y содержат неизбежные ошибки и число уравнений системы (2.6) значительно больше чис - ла неизвестных ; поэтому система (2.6), как правило , является несов - местной . Приходится отыскивать наилучшие значения 1 2 , ,..., m a a a % % % , приближенно удовлетворяющие системе (2.6), т . е . такие , что невяз - ки ( уклонения ) ( ) ( ) 1 2 ; , ,..., 1,2,..., j j m j y f x a a a j n − = ε = % % % % (2.7) являются возможно малыми по абсолютной величине . Геометрически задача сводится к проведению кривой вида (2.5), наиболее тесно примыкающей к данной системе точек . Наиболее распространенными являются эмпирические фор - мулы , линейно зависящие от параметров , т . е . формулы вида ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 ... m m y x a x a x a x = ϕ + ϕ + ϕ + + ϕ . (2.8) В этом случае система (2.6) линейная и исследование ее сравнительно просто . При нелинейной зависимости в (2.5) от па - раметров 1 2 , ,..., m a a a система (2.6) также нелинейная и нахождение точных или приближенных решений ее представляет трудную за - дачу ; обычно такую систему приближенно заменяют линейной .