Методы наименьших квадратов и наименьших модулей в научно-технических расчетах

60 Выход : оценка коэффициентов уравнения регрессии 0 1 , ,..., m a a a . Шаг 1 . Для всех i = 1, 2, … , m положить 1 i p = ; положить k = 0; положить ( ) 1 0 1 0 ,..., 1 1 , ,..., arg min m n m m i i j ij a a i j a a a p y a a x = = = − − ∑ ∑ o o o . Шаг 2 . Для всех i = 1, 2, … , m положить ( ) ( ) 0 1 m k k i i j ij j p y a a x =   ′= ρ − −      ∑ ; положить k = k + 1; положить ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 , ,..., 1 1 , ,..., arg min m n m k k k m i i j ij a a a i j a a a y a a x = = = ρ − − ∑ ∑ . Шаг . Если ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 0 1 , ,..., , ,..., k k k k k k m m a a a a a a − − − − > δ , то пе - рейти на шаг 2 . Шаг . Останов , искомые значения равны ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 , ,..., k k k m a a a . Обоснование результативности алгоритма А дает следующая теорема . Теорема 3 . Если функция потерь ρ (*) является выпуклой вверх монотонно возрастающей непрерывно - дифференцируемой на положительной полуоси , такой что ρ′ (0) = M < ∞ , то последо - вательность ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 1 0,1,... , ,..., k k k m k a a a = , построенная алгоритмом А , имеет предел . Доказательство . Из требований , наложенных на функцию ρ (*), следует , что в любой точке 0 u определена касательная аппрок - симация для ( ) u ρ : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 v u u u u u u ′ ′ = ρ − ρ + ρ , являющаяся строгой мажорантой , т . е . ( ) ( ) 0 0 u v u ρ = и ( ) ( ) ( ) 0 u u u v u ∀ ≠ ρ < . Следовательно :