Методы наименьших квадратов и наименьших модулей в научно-технических расчетах

14 Пример 3 . По полярной круговой орбите вокруг Земли вращается искусственный спутник . Наблюдатель , помещенный на полюсе , в моменты 1 2 , ,..., N t t t отмечает его положение относитель - но звезд , или , что то же , измеряет угол α между линией горизонта и направлением на спутник . Требуется , используя данные измере - ний , определить радиус орбиты спутника , его угловое положение на орбите в момент времени 0 t = и полярный радиус Земли . Данная задача носит несколько искусственный и , если угод - но , шутливый характер , но в своей основе она содержит все эле - менты аналогичных задач по определению формы и размеров Земли по наблюдениям искусственных спутников Земли [27]. Примем , как и раньше , для обозначения определяемых пара - метров буквы 1 a , 2 a и 3 a . Таким образом , 1 a будет обозначать ра - диус орбиты спутника , 2 a – его угловое положение на орбите , от - считанное от экватора в начальный момент времени , и 3 a – радиус Земли . Установим зависимость измеряемых величин от параметров , подлежащих определению . Для решения этой задачи придется воспользоваться знамени - тым третьим законом Кеплера о том , что квадрат времени обраще - ния небесного тела вокруг притягивающего центра пропорциона - лен кубу большой полуоси : 2 3 T mR = , где т – постоянный коэффициент , для Земли равный 4 π 2 /398600 ( с 2 / км 3 ), или , в принятых обозначениях : 2 2 3 1 2 T ma π   = =   ω   , где ω – угловая скорость движения спутника вокруг Земли .