Логические основы цифровой техники

Начнем с целочисленного представления. На основании проце­ дур выполнения арифметических операций в двоичной системе рас­ смотрим сумму Z = X + Y, где числа X и Y имеют по N разрядов. Результат сложения целых чисел является тоже целым числом, но имеющим максимально (.V + 1 )-й разряд. Следовательно, исполь­ зуемое представление позволяет точно записать полученное число, и погрешность вычисления будет равна нулю. Ошибка вычисления суммы возникает, если разрядность С окажется больше выделенной. Следовательно, для исключения ошибок при вычислении сумм их раз­ рядность > log^( 0 ^ ' где / -количество складываемых чисел раз­ рядностью N. При умножении целых чисел Z = ХУ погрешности также не возникает, но количество разрядов увеличивается до двух раз. Поэтому, для исключения ошибок при вычислении произведений, его разрядность N_ > IN, где / - количество перемножаемых чисел разрядностью N. Слабым местом целочисленного представления является опера­ ция деления. Так как результат целочисленного деления является це­ лым числом, а значение остатка всегда имеет тот же знак, что и част­ ное, то абсолютная погрешность операции |А| < 1. При использовании арифметического округления (прибавлении к частному единицы, если модуль остатка больше половины модуля делителя) |л| < 0.5 . В инженерных задачах обычно пользуются относительной по- фешностью величиныА': 5^ = Д^/Л'. Её максимальное значение при целочисленном делении возникает при малых значе1П1ях X, т.е. когда X = \. В этом случае относительная погрешность целочисленного деления составляет 50 - 100 %. Погрешности арифметических операций при использовании представления дробных чисел с фиксированной и плавающей точка­ ми можно получить, используя данные, полученные для целочислен­ ных операций, с учетом представления дробного числа х = X • 2*^' , где X - целое число, а - его порядок. 4 0