Теория вероятностей

то закон распределения суммы К, = X, + Хт+...+Х„ при и— неограниченно приближается к нормальному с математическим п " 2 ожиданием 2^ а, и дисперсией 1=1 .=] Условие (5.16) обеспечивает ничтожное влияние каждой из сл\"чайных величин на его сумму. Теорему принимаем без доказа­ тельства. Неограниченное приближение закона распределения суммы y „ =Y . ^ i ^ нормальному закону при в соответствии со i=l свойствами нормального закона означает, что lim Р И— /=1 V - 1 ° . <z 1 . 1 . =-^ \е ^ dt=-^+-^0(z), (5.17) 2 2 где Ф(г) - функция Лапласа (2.39). В качестве следствия из этой теоремы можно получить тео­ рему Муавра -Лапласа о сходимости биноминального распределе­ ния к нормальном). Теорема Муавра-Лапласа. Пусть Х,,Х2,...,Х„ случайные величины, фигурирующие в теореме Ляпунова, одинаково распре­ делены. дискретны и принимают только два возможных значения 1 и О с вероятностями р и q=l-р. Как и в теореме Бернулли, будем считать, что X, - это число появлений события А в /-м опыте (i = l.;i). Тогда число появлений события А в п опытах равно > = X -^1 • По теореме Ляпунова закон распределения У при и —> ; = 1 приближается к нормальному, т.е. Ь-")' f (y) = s/liia 120