Теория вероятностей

ваемого события А сходится по вероятности к его вероятности р в отдельном опыте. Обозначим частоту события А через р' , т.е. р' {А) = р', то­ гда теорему Бернулли можно записать в виде: l i m( | / - p | < e ) = l . (5.14) Доказательство. Обозначим через X, = число появ­ лений события А в 1-м опыте. Величины X, независимые случай­ ные величины, имеющие одинаковые ряды распределения: 0 1 р р я где q= 1-р. Каждая из величин X, (( = 1,л) есть дискретная слу­ чайная величина с двумя возможными значениями О и 1. Следовательно, для каждой величины X,: M[Xi) = \p + Qq = p\ D(X,) = MiyXr)-mx; = р-р' = pq . II I X , Частота появления А в п опытах равна р = среднему арифметическому наблюдаемых значений. Можно применить теорему Чебышева. так как случайные ве­ личины X, попарно независимы (опыты независимые), математиче­ ские ожидания равны, дисперсии ограничены (можно доказать, что pq<l/4). По теореме Чебышева получим lim р(Ь* - Р < Е ) = I , что и требовалось доказать. 117