Вычисления в конечных полях

- операции над элементами выполняются по модулю /н, кото­ рый приводит результат во л1пожсство значений поля; - однозначно определяется операция деления, так как для нену­ левого любого :1лсмепта а поля существует единственный обратный элемент - может совпадать со значением самого элемента с/; - возможно распараллеливание однотипных операций. Число т называется порядком конечного поля, а поле обо­ значается как GF{m). Данное поле также называется полем Галуа. Пример 2.1. Для множества {О, I, ...,6} значений числового поля: - модулем является число 7, - результат сложения двух чисел 3 -1 -5 = 8 приводится опера­ цией 8 mod 1 в число I. Примером поля Галуа является поле GF{2) двоичных чи­ сел {О, I }. Операции сложения (сложение по модулю 2) и умноже­ ния (умножение по модулю 2) в этом поле выполняются по модулю 2 (рис. 2.1), ф 1 ® 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 а б Рис. 2.1, Таблицы операций над элементами поля GF(1): а ~ сложения ( ® ); г7 - умножения ( ® ) Аналогичные таблицы операций (рис. 2,2) можно предста­ вить и для поля GF{1). Если поле конечно, то: 1) можно ввести операцию сравнимости целых чисел а и h по модулю натурального числа т: а = h mod rn\ 2) при этом выполняется условие а = {Ь + km) mod m, где к - некоторое целое число; 3) ч^юла аиЬ имеют одиншювые остатки от деления на число т: а mod т = b mod m; 4) выражение {а - h) делится на т без остатка: т \ (а - h). 42